Une nouvelle énigme (b)

Comme nous l’avons vu à la fin de l’article précédent, l’analyse de toutes les permutations possibles de 1 à 10 nous emmènerait trop loin, avec 3.628.800 permutations possibles. Mais nous pouvons facilement réduire le problème avec un peu de bon sens. Voici deux façons différentes d’y parvenir…

Réduction par analyse globale

Le nombre moyen par sommet est de 5,5 soit de 16,5 par groupe de trois lettres. Pour obtenir un total de 20 pour chacun des 5 trinômes importants, il faudra donc taper dans les nombres élevés. Et ce en priorité pour A et B, qui interviennent chacun 3 fois dans un trinôme de 20. Puis pour C et/ou D qui interviennent 2 fois dans un trinôme de 20 et une fois dans un trinôme de 17.

Réduction par analyse détaillée

Prenons le cas des sommets A et B. Comme chacun doit mener à 3 trinômes de total 20 avec à chaque fois 2 partenaires nouveaux, on peut éliminer pour eux les valeurs de 1 à 6. Si par exemple A était égal à 5, on pourrait avoir 5-9-6 ou 5-8-7 mais on n’aurait pas de troisième possibilité.

Solution possible

En tenant compte de deux remarques précédentes, on voit que l’on pourrait déjà bien simplifier le problème en mettant 10 en A et 9 en B. Il ne resterait alors plus que 7! combinaisons possibles, soit 5.040 cas à analyser. Si l’on trouve une solution, ce sera forcément la bonne. Sinon, il suffira de relâcher cette contrainte…

L’écran suivant montre comment j’ai résolu le problème. On tire les valeurs dans le bloc D3 :D12 à partir des aléas en colonne C. Les cellules à fond bleu sont celles définies par notre choix ci-dessus. La cellule « Ecart » en E20 calcule le nombre d’écarts par rapport aux objectifs.

On découvre en fait qu’il y a deux solutions possibles, que j’ai reproduites en I3:K12.

Remarque 1 – Nous comprenons pourquoi la question posée était d’obtenir le produit C*J*D car celui-ci reste le même avec ces deux solutions.

Sur 10 résolutions, il m’a fallu en moyenne 2.334 itérations ce qui correspond comme par hasard à 5.040/2 puisqu’il y a deux solutions.

Remarque 2 – On pourrait peut-être trouver d’autres solutions en mettant d’autres valeurs de départ en A et B. Mais cela va compliquer les formules en D5:D12…