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04 février 2020

Enigme sur les âges (c)

Nous rappelons les équations pour formuler notre problème :

(1) Jean + 10 = 2 (Anne - r)

(2) Paul - r = 9 (Jean - r)

(3) Paul - 8 = 0,5 (Anne + p)

(4) Anne + p = Jean + 1 + q

(5) Paul + q = 5 (Jean + 2)

(6) Paul + k = 3 (Paul - Anne)

(7) Anne - l = (1/3) * (Jean + k)

(8) Paul + m = Paul - l + 10

(9) Anne - n = 0,5 (Jean + m)

(10) Anne + o = 3 (Paul - n - 6)

(11) Paul - (Jean - 1) = Jean + o + 3

Voilà ce que cela donne dans Excel :

Il ne reste plus qu’à énoncer le problème dans le solveur.

En fait, il n’y a rien à optimiser. Tout ce que nous voulons, c’est nous assurer que toutes les valeurs de la colonne N soient nulles. Nous avons donc tout simplement mis comme objectif que N3 soit nul, et spécifié comme contrainte que les valeurs de la colonne N soient toutes nulles.

Nous lançons le solveur et, en un rien de temps, nous trouvons la solution : Jean a 3 ans, Anne a 8 ans et Paul a 15 ans !

Astuce – Dans la formulation du problème, nous nous sommes bien gardés de demander à Excel que les constantes soient toutes entières. Heureusement car, dans la solution finale, une des constantes n’est pas entière !

2 Commentaire(s):

Bonjour,

Je reprends ma technique exprimée dans le commentaire du post (b) :

J'ai réécrit les 11 propositions sous forme algébrique classique :
(1) 2A-J-2r=10
(2) P-9J+8r=0
(3) P-0,5A-0,5P=8
(4) A-J+p-q=1
(5) P-5J+q=10
(6) 2P-3A-k=0
(7) A-0,333J-l-0,333k=0
(8) m+l=10 l'erreur était là, j'avais écrit m+l=0... mea culpa
(9) A-0,5J-0,5m-n=0
(10) A-3P+3n+o=-18
(11) P-2J-o=2

On arrive à un système linéaire de 11 équations à 11 inconnues qu'on écrit sous forme matricielle :
[A].[X]=[B], [A] est la matrice 11x11 des coefficients des variables et [B] la matrice colonne des seconds membres des égalités (ici : 10,0,8,1,10,0,0,0,0,-18,2).
La solution est donc [X]=[inv A].[B].
Dans mon implantation Excel, [A] est dans la plage de cellules A2:K12 et [B] dans N2:N12.
Le résultat est obtenu dans une plage de cellules d'une colonne et de 12 lignes contenant la formule matricielle (au sens Excel) suivante :
=PRODUITMAT(INVERSEMAT(A2:K12);N2:N12)

Le résultat obtenu est en effet : Anne 8 ans, Jean 3 ans et Paul 15 ans.

By cduigou, sur 12:16 AM
Rectificatif :
...la matrice colonne des seconds membres des égalités (ici : 10,0,8,1,10,0,0,10,0,-18,2).
On va y arriver !!!

By cduigou, sur 12:19 AM