Je veux réussir mon examen (a)

L’énigme ci-dessous a été posée par Euro Décision, mon partenaire pour plusieurs des formations que j’anime en entreprise. J’ai un peu modifié le texte original pour le simplifier et le rendre plus clair encore.

  

Eléonore a des examens à passer. Comme elle a pris du retard dans ses révisions, elle aimerait minimiser le nombre de chapitres à apprendre par cœur.

Il y aura 6 questions à l’examen, chacune portant sur un chapitre différent pris parmi les 13 chapitres au programme. Les candidats devront réussir à répondre à au moins 2 de ces questions.

Combien de chapitres Eléonore devra-t-elle réviser pour avoir au moins 9 chances sur 10 de fournir au moins 2 bonnes réponses ?

Solution par les statistiques

Ce type de problème, dans les cours de statistiques, est appelé un « tirage sans remise ».

En effet, l’exemple classique est le tirage de boules de couleurs placées dans des urnes, il s’agit alors d’évaluer la probabilité d’obtenir tant de boules rouges, noires… Dans notre problème, c’est « sans remise » car une boule, après avoir été tirée, n’est pas replacée dans l’urne.

Pour nous ramener au classique des boules, on représente les 13 chapitres par des boules de couleurs. Les chapitres sélectionnés pour l’examen sont représentés par des boules blanches et les autres par des boules noires. Donc 13 boules, 6 blanches et 7 noires.

Soit n le nombre de boules tirées et X le nombre de boules blanches parmi les n tirées, je cherche n pour que P(X ≥ 2) ≥ 90% ou, plus simplement : 1 – P(X=1) – P(X=0) ≥ 0,9.

La loi hypergéométrique (http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyperg%C3%A9om%C3%A9trique) donne une formule pour P(X=k), et grâce à Excel, on trouve que pour n = 5, p(X≥2) = 82% et pour n = 6, p(X≥2)= 92%.

La réponse est donc 6 chapitres.

Le tableau ci-dessus montre comment nous avons formulé de problème dans Excel. Le bloc en A1:A5 liste nos paramètres pour la loi hypergéométrique. La cellule C7 indique la probabilité de succès avec le nombre de chapitres révisés inscrit en C2, soit 82% pour 5 chapitres.

En F1, nous avons inscrit la formule =C5 puis nous avons créé une table en prenant C2 comme paramètre en colonne.

Nous constatons que la réponse à l’énigme est bien 6 chapitres à réviser pour avoir au moins 90% de chances de réussite à l’examen.