Je veux réussir mon examen (b)

Dans l’article précédent, nous avons posé le problème de l’examen que devait passer Eléonore, et nous avons résolu ce problème en utilisant la loi hypergéométrique.

Aujourd’hui, nous voyons comment ce problème peut être résolu d’une autre façon, par analyse combinatoire.

Solution par analyse combinatoire

L’analyse combinatoire consiste à effectuer le décompte des cas possibles, puis celui des cas favorables. La probabilité de réussite est alors le rapport de  ces deux résultats.

Nous avons 13 chapitres, dont 6 sont tirés pour l’examen. Le nombre de combinaisons de « k parmi n » est :

n! / k!(n-k)!, soit dans notre cas 13! / (6! * 7!).

Il y a donc 1716 combinaisons différentes possibles à l’examen.

Nous pourrions entrer à cet effet la formule =fact(13)/fact(6)/fact(7), mais le résultat s’obtient plus simplement encore avec la fonction créée précisément dans Excel à cet effet : =combin(13;6).

Pour trouver le nombre de combinaisons avec au moins 2 chapitres révisés, nous allons passer par le complémentaire : toutes les combinaisons, moins celles avec 0 ou 1 chapitre révisé.

Appelons r le nombre de chapitres révisés.

Nombre de tirages avec aucun chapitre révisé : c’est le nombre de tirages de 6 chapitres parmi les 13-r non révisés : (13-r)! / 6!(13-r-6)! C’est la formule =COMBIN(13-C8;6) en B9.

Pour un chapitre donné révisé : nombre de tirages de 5 chapitres parmi les 13-r non révisés : (13-r)! / 5!(13-r-5)!

Ceci est valable pour les r chapitres révisés, donc les combinaisons se s’élèvent à : r * (13-r)! / 5!(13-r-5)!

Cela nous donne la formule =C8*COMBIN(13-C8;5) en B10 dans Excel.

On crée ensuite une table en E1:G10 avec la formule =1-loi.hypergeometrique.n(C1;C2;C3;C4;C5) en F1 et la formule =C11 en G1, en mettant l’argument en colonne en C2.

Quand on fait cela, on obtient des erreurs en G9 et G10, ce qui est normal. Pour les éliminer, il faut remplacer les formules de C9 et C10 par =sierreur(formule;0)…

Ce qui est intéressant avec ce second article sur l’examen, c’est que nous trouvons exactement les mêmes résultats avec une approche totalement différente.